תוכן העניינים
- התפלגות רגילה (עקומת פעמון)
- סיכון והחזרות
- תורת הפורטפוליו המודרנית
- אבני הבניין
- דוגמה מהירה ל- MPT
- אתגרים ל- MPT והפצה
- בשורה התחתונה
ההתפלגות הנורמלית היא חלוקת ההסתברות הקובעת את כל ערכיה בצורה סימטרית כאשר מרבית התוצאות ממוקמות סביב ממוצע ההסתברות.
התפלגות רגילה (עקומת פעמון)
מערכי נתונים (כמו גובהם של 100 בני אדם, ציונים שהושגו על ידי 45 תלמידים בכיתה וכו ') נוטים לערכים רבים באותה נקודת נתונים או באותה טווח. תפוצה זו של נקודות נתונים נקראת התפלגות נורמלית או עקומת פעמון.
לדוגמה, בקבוצה של 100 אנשים, 10 יכולים להיות מתחת לגובה מטר וחצי, 65 יכולים לעמוד בין מטר ל -5.5 רגל ו -25 עשויים להיות מעל 5.5 רגל. ניתן לתאר את החלוקה המחוברת לטווח כדלקמן:
באופן דומה, נקודות נתונים המתוארות בתרשימים עבור כל מערך נתונים נתון עשויות להידמות לסוגים שונים של התפלגויות. שלוש מההפצות הנפוצות ביותר הן התפלגויות שמאליות, מיושרות ימינה ומפולטות:
שימו לב לקו המגמה האדום בכל אחת מהגרפים הללו. זה מעיד בערך על מגמת הפצת הנתונים. הראשון, "חלוקה ישר שמאלה", מצביע על כך שרוב נקודות הנתונים נופלות בטווח התחתון. בתרשים השני "הפצה ממוקדת ימינה", רוב נקודות הנתונים נופלות בסוף הגבוה יותר של הטווח, בעוד שהאחרון, "התפלגות מבולבלת", מייצג מערך נתונים מעורב ללא מגמה ברורה.
ישנם הרבה מקרים בהם חלוקת נקודות הנתונים נוטה להיות סביב ערך מרכזי, והגרף הזה מראה חלוקה נורמלית מושלמת - מאוזנת באותה מידה משני הצדדים, כאשר המספר הגבוה ביותר של נקודות נתונים מרוכז במרכז.
להלן מערך נתונים מושלם ומופץ בדרך כלל:
הערך המרכזי כאן הוא 50 (שיש לו את מספר הנקודות הרב ביותר), וההפצה מתכווצת באופן אחיד לעבר ערכי קצה קיצוניים של 0 ו -100 (שיש להם את המספר המועט ביותר של נקודות נתונים). ההתפלגות הרגילה היא סימטרית סביב הערך המרכזי עם מחצית הערכים מכל צד.
הרבה דוגמאות מהחיים האמיתיים מתאימות להפצת עקומת הפעמון:
- זרוק מטבע הוגן פעמים רבות (נניח 100 פעמים ויותר) ותקבל חלוקה נורמלית מאוזנת של ראשים וזנבות. גלול זוג קוביות בהירות פעמים רבות (נניח 100 פעמים או יותר) והתוצאה תהיה שקולה, רגילה התפלגות שהתרכזה סביב המספר 7 ומתחדדת באופן אחיד לכיוון ערכי קצה קיצוניים של 2 ו 12. גובהם של אנשים בקבוצה בסדר גודל משמעותי וסימנים שהושגו על ידי אנשים בכיתה שניהם עוקבים אחר דפוסי התפלגות נורמליים. בתחום הכספים, שינויים ב ערכי יומן של שיעורי פורקס, מדדי מחירים ומחירי מניות ההנחה היא כי הם מופצים בדרך כלל.
סיכון והחזרות
לכל השקעה שני היבטים: סיכון ותשואה. המשקיעים מחפשים את הסיכון הנמוך ביותר האפשרי לתשואה הגבוהה ביותר האפשרית. ההתפלגות הרגילה מכמתת את שני ההיבטים הללו בממוצע לתשואות וסטיית תקן לסיכון. (לפרטים נוספים, ראה "ניתוח ממוצרי שונות.")
ערך ממוצע או צפוי
שינוי ממוצע מסוים של מחיר המניה יכול להיות 1.5% על בסיס יומי - כלומר, בממוצע, הוא עולה בכ -1.5%. ניתן להגיע לערך ממוצע זה או לערך הצפוי המסמן תשואה על ידי חישוב הממוצע על מערך נתונים גדול מספיק המכיל שינויים במחירים יומיים היסטוריים של אותה המניה. ככל שהממוצע גבוה יותר, כן ייטב.
סטיית תקן
סטיית תקן מציינת את הסכום בו הערכים חורגים בממוצע מהממוצע. ככל שסטיית התקן גבוהה יותר, כך ההשקעה מסוכנת, מכיוון שהיא מובילה ליותר אי וודאות.
להלן ייצוג גרפי של אותו הדבר:
מכאן שהייצוג הגרפי של התפלגות נורמלית באמצעות ממוצע וסטיית התקן שלה מאפשר ייצוג של תשואות וגם של סיכון בטווח מוגדר בבירור.
זה עוזר לדעת (ולהיות סמוך ובטוח בוודאות) שאם מערך נתונים כלשהו עוקב אחר דפוס ההפצה הרגיל, הממוצע שלו יאפשר לנו לדעת למה חוזר לצפות, וסטיית התקן שלו תאפשר לנו לדעת שבערך 68% מהערכים תהיה בתוך סטיית תקן אחת, 95% בתוך 2 סטיות תקן ו 99% מערכים ייפלו תחת 3 סטיות תקן. מערך נתונים שיש לו ממוצע של 1.5 וסטיית תקן של 1 הוא הרבה יותר מסוכן מאשר מערך נתונים אחר עם ממוצע של 1.5 וסטיית תקן של 0.1.
הכרת הערכים הללו עבור כל נכס שנבחר (כלומר מניות, אג"ח וקרנות) תגרום למשקיע להיות מודע לתשואות והסיכונים הצפויים.
קל ליישם מושג זה ולייצג את הסיכון והתשואה על מניה, אג"ח או קרן אחת. אך האם ניתן להרחיב זאת לתיק של נכסים מרובים?
אנשים מתחילים לסחור ברכישת מניה או אג"ח יחידים או השקעה בקרן נאמנות. בהדרגה, הם נוטים להגדיל את אחזקותיהם ולרכוש מספר מניות, קרנות או נכסים אחרים ובכך ליצור תיק עבודות. בתרחיש מצטבר זה, אנשים בונים את התיקים שלהם ללא אסטרטגיה או מחשבה רבה. מנהלי קרנות, סוחרים ומקבלי שוק מקצועיים נוקטים בשיטה שיטתית לבניית תיק העבודות שלהם בגישה מתמטית המכונה תורת הפורטפוליו המודרנית (MPT) המבוססת על המושג "תפוצה נורמלית".
תורת הפורטפוליו המודרנית
תורת הפורטפוליו המודרנית (MPT) מציעה גישה מתמטית שיטתית שמטרתה למקסם את התשואה הצפויה של התיק לסכום נתון של סיכון תיק עבודות על ידי בחירת הפרופורציות של נכסים שונים. לחילופין, היא מציעה גם למזער את הסיכון לרמה נתונה של תשואה צפויה.
כדי להשיג מטרה זו, אין לבחור את הנכסים שייכללו בתיק אך ורק על סמך הכשרון האישי שלהם אלא במקום זאת כיצד יבצע כל נכס ביחס לנכסים האחרים בתיק.
על קצה המזלג MPT מגדיר כיצד להשיג בצורה הטובה ביותר פיזור תיקים לתוצאות הטובות ביותר האפשריות: תשואות מרביות לרמת סיכון מקובלת או סיכון מינימלי לרמת תשואות רצויה.
אבני הבניין
ה- MPT היה מושג מהפכני כל כך כשהוצג כי ממציאיו זכו בפרס נובל. תיאוריה זו סיפקה בהצלחה נוסחה מתמטית שתנחה את הגיוון בהשקעה.
גיוון הוא טכניקת ניהול סיכונים, המסלקת את סיכון "כל הביצים בסל אחד" על ידי השקעה במניות, סקטורים או קטגוריות נכסים שאינם קשורים. באופן אידיאלי, הביצועים החיוביים של נכס אחד בתיק יבטלו את הביצועים השליליים של נכסים אחרים.
כדי לקחת את התשואה הממוצעת של התיק שיש לו n נכסים שונים, מחושב השילוב המשוקלל יחסית של התשואות של הנכסים המרכיבים.
בשל אופי החישובים הסטטיסטיים וההפצה הרגילה, מחושב התשואה בתיק הכללי (R p) כ:
Deen Rp = ∑wi Ri
הסכום (∑), כאשר w i הוא המשקל היחסי של נכס i בתיק, R i הוא התשואה (הממוצע) של נכס i.
סיכון התיק (או סטיית תקן) הוא פונקציה של המתאמים של הנכסים הכלולים, עבור כל זוגות הנכסים (ביחס זה לזה בצמד).
בשל אופי החישובים הסטטיסטיים וההפצה הרגילה, סיכון התיק הכולל (Std-dev) p מחושב כ:
Deen (Std − dev) p = sqrt
כאן, cor-cof הוא מקדם המתאם בין תשואות נכסים i ו- j, ו- sqrt הוא שורש הריבוע.
זה דואג לביצועים היחסיים של כל נכס ביחס לאחר.
למרות שזה נראה מורכב מבחינה מתמטית, המושג הפשוט המיושם כאן כולל לא רק סטיות תקן של נכסים בודדים, אלא גם אלה הקשורים זה לזה.
דוגמא טובה זמינה כאן מאוניברסיטת וושינגטון.
דוגמה מהירה ל- MPT
כניסוי מחשבה, בואו נדמיין שאנחנו מנהל תיקים שניתן לו הון ומוטל עליו כמה יש להקצות הון לשני נכסים זמינים (A&B) כך שהתשואה הצפויה תתמקסם ותוריד הסיכון.
יש לנו גם את הערכים הבאים:
R a = 0.175
R b = 0.055
(Std-dev) a = 0.258
(Std-dev) b = 0.115
(Std-dev) ab = -0.004875
(Cor-cof) ab = -0.164
החל בהקצאה שווה של 50-50 לכל A & B של נכס, ה- R p מתחשב ל 0.115 ו- (Std-dev) p מגיע ל 0.1323. השוואה פשוטה אומרת לנו כי עבור תיק הנכסים הזה, התשואה והסיכון הם באמצע הדרך בין הערכים האישיים של כל נכס.
עם זאת, מטרתנו היא לשפר את החזר התיק מעבר לממוצע העצום של אחד מהנכסים האישיים ולהקטין את הסיכון, כך שהוא נמוך מזה של הנכסים האישיים.
בואו ניקח עמדה להקצאת הון של 1.5 בנכס A, ומיקום להקצאת הון -0.5 בנכס B. (הקצאת הון שלילית פירושה קיצור שהמניות וההון שהתקבלו משמשים לקניית עודפי הנכס האחר עם הקצאת הון חיובית. במילים אחרות, אנו מקצרים את המניה B עבור 0.5 פעמים הון ומשתמשים בכסף הזה כדי לקנות מניות A בסכום של 1.5 פעמים מהון.)
בעזרת ערכים אלה, אנו מקבלים R p כ 0.1604 ו- (Std-dev) p כ 0.4005.
באופן דומה, אנו יכולים להמשיך להשתמש במשקולות הקצאה שונות לנכס A & B, ולהגיע לקבוצות שונות של Rp ו- (Std-dev) p. על פי התשואה הרצויה (Rp), ניתן לבחור את רמת הסיכון המקובלת ביותר (std-dev) p. לחילופין, עבור רמת הסיכון הרצויה, ניתן לבחור את התשואה הטובה ביותר לתיק. כך או כך, באמצעות מודל מתמטי זה של תיאוריית הפורטפוליו, ניתן לעמוד ביעד של יצירת תיק עבודות יעיל עם שילוב הסיכון והתשואה הרצוי.
השימוש בכלים אוטומטיים מאפשר לזהות בקלות ובחלקם את הפרופורציות המוקצות הטובות ביותר האפשריות, ללא צורך בחישובים ידניים ארוכים.
הגבול היעיל, מודל תמחור נכסי ההון (CAPM) ותמחור נכסים המשתמשים ב- MPT מתפתחים מאותו מודל חלוקה רגיל והם מהווים הרחבה ל- MPT.
אתגרים ל- MPT (ולפיזור רגיל ביסוד)
למרבה הצער, אף מודל מתמטי אינו מושלם ולכל אחד מהם חסרונות ומגבלות.
ההנחה הבסיסית שתשואת מחירי המניות עוקבת אחר התפלגות נורמלית עצמה נפרדת שוב ושוב. יש הוכחה אמפירית מספקת למקרים בהם הערכים אינם מצליחים לדבוק בחלוקה הנורמלית המשוערת. התבססות על מודלים מורכבים על הנחות כאלה עשויה להוביל לתוצאות עם חריגות גדולות.
בהמשך לחקר MPT, החישובים וההנחות לגבי מקדם המתאם והצביעות שנותרו קבועים (על סמך נתונים היסטוריים) עשויים לא בהכרח להיות נכונים לערכים הצפויים בעתיד. לדוגמא, שוקי האג"ח והמניות הראו מתאם מושלם בשוק הבריטי משנת 2001 עד 2004, בו התשואות משני הנכסים ירדו במקביל. במציאות, ההפך נצפה לאורך תקופות היסטוריות ארוכות לפני 2001.
התנהגות משקיעים אינה נלקחת בחשבון במודל מתמטי זה. מיסים ועלויות עסקה מוזנחים, למרות שמניחים הקצאת הון שבריר ואפשרות לקצר נכסים.
במציאות, אף אחת מההנחות הללו לא עשויה להתקיים, מה שאומר שתשואה פיננסית ממומשת עשויה להיות שונה משמעותית מהרווחים הצפויים.
בשורה התחתונה
מודלים מתמטיים מספקים מנגנון טוב לכמת כמה משתנים עם מספרים בודדים הניתנים למעקב. אך בשל מגבלות ההנחות, דגמים עשויים להיכשל.
ההתפלגות הרגילה, המהווה את בסיס תורת התיקים, לא בהכרח חלה על מניות ודפוסי מחירים אחרים של נכסים פיננסיים. לתורת התיקים בפני עצמה יש הרבה הנחות שיש לבחון באופן ביקורתי, לפני שתקבל החלטות פיננסיות חשובות.
