אפשרויות הערכה יכולות להיות עסק מסובך. קחו בחשבון את התרחיש הבא: בינואר 2015 נסחרה מניית יבמ במחיר של 155 דולר וציפיתם שהיא תעלה גבוה בשנה הבאה. אתה מתכוון לרכוש אופציית שיחה במניה של יבמ עם מחיר השבת כספומט של 155 דולר, מצפה ליהנות מתשואות אחוז גבוהות, על בסיס עלות אופציה קטנה (פרמיית אופציה), בהשוואה לרכישת המניות עם מחיר קנייה גבוה.
מה אמור להיות השווי ההוגן של אפשרות שיחה זו ב- IBM?
כיום, קיימות מספר שיטות מוכנות שונות המאפשרות אפשרויות ערך - כולל מודל Black-Scholes ומודל עץ בינומי - שיכולות לספק תשובות מהירות. אך מהם הגורמים העומדים בבסיס ותפיסות הנהיגה להגיע למודלי הערכה כאלה? האם ניתן להכין משהו דומה, על בסיס הרעיון של הדגמים האלה?
כאן אנו מכסים את אבני הבניין, המושגים הבסיסיים והגורמים שיכולים לשמש כמסגרת לבניית מודל הערכה של נכס כמו אופציות, ומספקים השוואה זה לזה בצד המקורות של Black-Scholes (BS)) דגם.
העולם שלפני השחורים-שוליים
לפני Black-Scholes, דגם תמחור ההון מבוסס נכסים שיווי המשקל (CAPM) מבוסס על שיווי משקל. התשואות והסיכונים היו מאוזנים זה עם זה, בהתבסס על העדפת המשקיע, כלומר המשקיע שלוקח סיכון גבוה היה צפוי לפצות עם (הפוטנציאל של) תשואות גבוהות יותר ביחס דומה.
מודל BS מוצא את שורשיו ב- CAPM. לדברי פישר בלאק: "יישמתי את מודל תמחור נכסי ההון על כל רגע בחייו של צו, על כל מחיר מלאי וערך צו." למרבה הצער, CAPM לא הצליחה למלא את דרישת הצעת המחיר (אופציה).
בלאק-שולס נותר המודל הראשון, המבוסס על מושג הארביטראז ', שעושה שינוי פרדיגמה ממודלים מבוססי סיכון (כמו CAPM). פיתוח מודל BS חדש זה החליף את מושג תשואת המניות CAPM בהכרה בכך שמיקום מגודר לחלוטין ירוויח שער ללא סיכון. זה הוציא את שינויי הסיכון והתשואה, וביסס את מושג הארביטראז 'בו הערכות שווי מבוצעות על פי הנחות של מושג נייטרלי סיכון - עמדה מגודרת (נטולת סיכון) צריכה להוביל לשיעור תשואה נטול סיכון.
פיתוח שחור-שולס
נתחיל בביסוס הבעיה, כימותה ופיתוח מסגרת לפיתרון שלה. אנו ממשיכים בדוגמא שלנו להעריך את אופציית השיחה בכספומט ב- IBM עם מחיר שביתה של 155 דולר עם תום שנה.
על בסיס ההגדרה הבסיסית של אופציית שיחה, אלא אם מחיר המניה פוגע ברמת מחיר השביתה, התשלום נשאר אפס. פרסם רמה זו, התשלום עולה באופן לינארי (כלומר, עלייה של דולר אחד ביסוד הבסיס תביא לתשלום של דולר אחד מאופציית השיחה).
בהנחה שהקונה והמוכר מסכימים על הערכת שווי הוגנת (כולל מחיר אפס), המחיר ההוגן התיאורטי עבור אפשרות שיחה זו יהיה:
- מחיר אופציה להתקשרות = 0 $, אם יש בסיס <שביתה (גרף אדום) מחיר אופציית שיחה = (בסיס - שביתה), אם בסיס> = שביתה (גרף כחול)
זה מייצג את הערך המהותי של האופציה ונראה מושלם מנקודת מבטו של קונה אופציה להתקשרות. באזור האדום, גם לקונה וגם למוכר יש הערכה הוגנת (מחיר אפס למוכר, אפס שכר לקונה). עם זאת, אתגר ההערכה מתחיל באזור הכחול, שכן לקונה יש את היתרון של שכר חיובי, בעוד שהמוכר סובל מהפסד (בתנאי שהמחיר הבסיסי עולה על מחיר השביתה). זה המקום בו לקונה יש יתרון על פני המוכר עם מחיר אפס. התמחור צריך להיות שאינו אפס כדי לפצות את המוכר על הסיכון שהוא לוקח.
במקרה הקודם (גרף אדום), באופן תיאורטי, מחיר אפס מתקבל על ידי המוכר ויש פוטנציאל לשלם אפס עבור הקונה (הוגן לשניהם). במקרה האחרון (גרף כחול), יש לשלם על ידי המוכר את ההפרש בין הבסיס לשביתה. הסיכון של המוכר מתפרש על פני כל שנה שלמה. לדוגמא, מחיר המניה הבסיסי יכול לנוע גבוה מאוד (נניח ל -200 דולר בעוד ארבעה חודשים) והמוכר נדרש לשלם לקונה את ההפרש של 45 דולר.
לפיכך, זה מסתכם ב:
- האם מחיר הבסיס יעבור את מחיר השביתה? אם כן, כמה גבוה יכול המחיר הבסיסי לעלות (מכיוון שזה יקבע את התשלום לקונה)?
זה מעיד על הסיכון הגדול שלקח המוכר, מה שמוביל לשאלה - מדוע מישהו ימכור שיחה כזו, אם הם לא יקבלו משהו עבור הסיכון שהם לוקחים?
מטרתנו היא להגיע למחיר בודד שעל המוכר לחייב את הקונה, שיכול לפצות אותו על הסיכון הכולל שהוא לוקח במשך שנה - הן באזור התשלומים האפס (אדום) והן באזור התשלומים ליניארי (כחול). המחיר צריך להיות הוגן ומקובל הן לקונה והן למוכר. אם לא, הרי שמי שנמצא תחת נחיתות מבחינת תשלום או קבלת מחיר לא הוגן לא ישתתף בשוק ובכך יביס את מטרת עסק המסחר. מודל בלאק-שולס שואף לקבוע מחיר הוגן זה על ידי התחשבות בשינוי מחירים קבוע של המניה, ערך הזמן של הכסף, מחיר השביתה של האופציה והזמן לפקיעת האופציה. בדומה למודל BS, בואו נראה כיצד אנו יכולים לגשת להערכה זו לדוגמה בשיטות שלנו.
כיצד להעריך ערך פנים באזור כחול?
קיימות מספר שיטות לחיזוי תנועת המחירים הצפויה בעתיד במסגרת זמן נתונה:
- ניתן לנתח תנועות מחירים דומות מאותו משך בעבר האחרון. מחיר הסגירה ההיסטורי של יבמ מצביע על כך שבשנה האחרונה (2 בינואר, 2014 עד 31 בדצמבר 2014), המחיר ירד ל -160.44 דולר לעומת 185.53 דולר, ירידה של 13.5%. האם ניתן להסיק מהלך מחירים של -13.5% עבור יבמ? בדיקה מפורטת נוספת מצביעה על כך שהיא נגעה לגובה שנתי של 199.21 דולר (ב -10 באפריל 2014) ושפל שנתי של 150.5 דולר (ב -16 בדצמבר 2014). בהתבסס על יום ההתחלה, 2 בינואר, 2014, ומחיר הסגירה של 185.53 דולר, השינוי באחוזים נע בין 7.37% ל -18.88%. כעת, טווח הווריאציות נראה הרבה יותר בהשוואה לירידה המחושבת הקודמת של 13.5%.
ניתן לבצע ניתוח ותצפיות דומות על נתונים היסטוריים. כדי להמשיך בפיתוח מודל התמחור שלנו, נניח המתודולוגיה הפשוטה הזו לאמוד שינויי מחירים עתידיים.
נניח שיבמ עולה 10% בכל שנה (בהתבסס על הנתונים ההיסטוריים של 20 השנים האחרונות). נתונים סטטיסטיים בסיסיים מצביעים על כך שההסתברות לשינוי מחיר המניה של יבמ המרחפת סביב + 10% תהיה גבוהה בהרבה מההסתברות למחיר של יבמ ב -20% או בירידה של 30%, בהנחה שדפוסים היסטוריים יחזרו על עצמם. איסוף נקודות נתונים היסטוריות דומות עם ערכי הסתברות, ניתן לחשב תשואה כוללת צפויה על מחיר המניה של יבמ במסגרת זמן של שנה כממוצע משוקלל של הסתברויות ותשואות נלוות. לדוגמה, נניח שנתוני מחירים היסטוריים של יבמ מצביעים על המהלכים הבאים:
- (-10%) ב 25% מהפעמים, + 10% ב 35% מהפעמים, + 15% ב 20% מהפעמים, + 20% ב 10% מהפעמים, + 25% ב 5% מהפעמים ו (-15%) ב 5% מהפעמים.
מכאן שהממוצע המשוקלל (או הערך הצפוי) מגיע ל:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6.5%
כלומר, בממוצע, מחיר המניה של יבמ צפוי לחזור + 6.5% תוך שנה אחת לכל דולר. אם מישהו קונה את המניה של יבמ באופק של שנה ומחיר קנייה של 155 דולר, אפשר לצפות לתשואה נטו של 155 * 6.5% = 10.075 דולר.
עם זאת, זה לצורך החזרת המניה. עלינו לחפש תשואות דומות צפויות עבור אפשרות השיחה.
בהתבסס על אפס התשלום של השיחה מתחת למחיר השביתה (155 דולר קיימים - שיחת כספומט), כל המהלכים השליליים יניבו אפס תשלומים, בעוד שכל המהלכים החיוביים שמעל מחיר השביתה יפיקו שכר שווה. התשואה הצפויה לאופציית השיחה תהיה אפוא:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9.75%
כלומר, עבור כל 100 דולר שהשקיעו ברכישת אפשרות זו ניתן לצפות ל 9.75 $ (בהתבסס על ההנחות לעיל).
עם זאת, עדיין זה מוגבל להערכת שווי הוגן של סכום האופציה המהותית ואינו לוכד נכונה את הסיכון שמוכר מוכר האופציה עבור הנדנדות הגבוהות שיכולות להתרחש בינתיים (במקרה של התערבות הנ"ל לעיל גבוהה ונמוכה מחירים). בנוסף לערך המהותי, על איזה מחיר ניתן יהיה להסכים על ידי הקונה והמוכר, כך שהמוכר יפוצה בצורה הוגנת על הסיכון שהוא לוקח על פני מסגרת הזמן לשנה?
נדנדות אלה יכולות להשתנות באופן נרחב, ולמוכר עשוי להיות פרשנות משלו לכמה שהוא רוצה לפצות עליו. מודל Black-Scholes מניח אופציות מסוג אירופי, כלומר אין תרגיל לפני תאריך התפוגה. לפיכך, היא לא מושפעת מתנודות שער ביניים ומבססת את הערכתה על ימי מסחר מקצה לקצה.
בתנודתיות אמיתית לתנודתיות זו תפקיד חשוב בקביעת מחירי האופציות. פונקציית התשלום הכחול שאנו רואים בדרך כלל היא למעשה התשלום במועד התפוגה. באופן מציאותי, מחיר האופציה (גרף ורוד) תמיד גבוה מהגמול (גרף כחול), מה שמצביע על המחיר שגבה המוכר כדי לפצות על יכולות נטילת הסיכון שלו. זו הסיבה שמחיר האופציה מכונה גם האופציה "פרמיה" - המציינת באופן מהותי את פרמיית הסיכון.
ניתן לכלול את זה במודל הערכת השווי שלנו, תלוי בכמה תנודתיות צפויה במחיר המניה וכמה ערך צפוי שיניב.
מודל Black-Scholes עושה זאת ביעילות (כמובן בהנחות משלו) באופן הבא:
Deen C = S × N (d1) −X × e − rTN (d2)
מודל BS מניח חלוקה לוגנית של תנועות מחיר המניות, מה שמצדיק את השימוש ב- N (d1) ו- N (d2).
- בחלק הראשון S מציין את המחיר הנוכחי של המניה. N (d1) מציין את ההסתברות לתנועת המחירים הנוכחית של המניה.
אם אפשרות זו נכנסת לכסף המאפשרת לקונה לממש אפשרות זו, הוא יקבל נתח אחד מהמניה הבסיסית של יבמ. אם הסוחר מממש את זה היום, ה- S * N (d1) מייצג את הערך הצפוי של היום.
בחלק השני, X מציין את מחיר השביתה.
- N (d2) מייצג את ההסתברות שמחיר המניה יהיה מעל למחיר השביתה. כך X * N (d2) מייצג את הערך הצפוי של מחיר המניה שנותר מעל למחיר השביתה.
מכיוון שמודל Black-Scholes מניח אפשרויות בסגנון אירופאי בהן פעילות גופנית אפשרית רק בסוף, יש להפחית את הערך הצפוי המיוצג לעיל על ידי X * N (d2) בערך הזמן של הכסף. לפיכך, החלק האחרון מוכפל לטווח אקספוננציאלי המוגדל לשיעור הריבית לאורך תקופת הזמן.
ההפרש נטו של שני המונחים מציין את שווי המחיר של האופציה נכון להיום (בו מונח המונח השני)
במסגרתנו ניתן לכלול תנועות מחיר כאלה בצורה מדויקת יותר במספר דרכים:
- חידוד נוסף של חישובי התשואה הצפויים על ידי הרחבת הטווח למרווחים דקים יותר לכלול מהלכי מחיר תוך יום / intrayear הכללת נתוני שוק של ימינו, מכיוון שהוא משקף את הפעילות הנוכחית (בדומה לתנודתיות משתמעת) תשואות צפויות במועד התפוגה, שיכולות להיות יופנו בחזרה לימינו להערכת שווי ריאליסטית ויופחתו עוד יותר מהערך הנוכחי
לפיכך, אנו רואים כי אין גבול להנחות, מתודולוגיות והתאמה אישית שיש לבחור לניתוח כמותי. בהתאם לנכס שיש לסחור בו או להשקעה שיש לקחת בחשבון, ניתן לעבוד על מודל שפותח בעצמו. חשוב לציין כי תנודתיות של תנועות מחירים בסוגי נכסים שונים משתנות רבות - למניות יש תנודתיות לתלוש, לפורקס יש תנודתיות בזעף - והמשתמשים צריכים לשלב את דפוסי התנודתיות החלים במודלים שלהם. הנחות וחסרונות הם חלק בלתי נפרד מכל מודל ויישום ידע של מודלים בתרחישים מסחריים בעולם האמיתי יכול להניב תוצאות טובות יותר.
בשורה התחתונה
כאשר נכסים מורכבים נכנסים לשווקים או אפילו נכסי וניל רגילים נכנסים לצורות מסחר מורכבות, דוגמנות וניתוח כמותי הופכות לחובה להערכת שווי. למרבה הצער, אף מודל מתמטי לא מגיע ללא קבוצה של חסרונות והנחות. הגישה הטובה ביותר היא להקטין את ההנחות למינימום ולהיות מודע לחסרונות המשתמעים, שיכולים לסייע לשרטט את הקווים על השימוש בדגמים ויישומם.
