מה המשפט של בייס?
משפט בייס, שנקרא על שם המתמטיקאי הבריטי מהמאה ה -18 תומאס בייס, הוא נוסחה מתמטית לקביעת ההסתברות המותנית. המשפט מספק דרך לשנות את התחזיות או התיאוריות הקיימות (הסתברות עדכונים) שניתנו בראיות חדשות או נוספות. בתחום הכספים ניתן להשתמש במשפט של בייס כדי לדרג את הסיכון להלוואת כספים ללווים פוטנציאליים.
משפט Bayes נקרא גם חוק שלטון בייס או חוק Bayes והוא הבסיס לתחום הסטטיסטיקה של בייס.
Takeaways מפתח
- משפט Bayes מאפשר לעדכן את ההסתברויות החזויות של אירוע על ידי שילוב של מידע חדש. משפט Bayes נקרא על שם המתמטיקאי מהמאה ה -18 תומאס בייס. לעתים קרובות הוא מועסק במימון בעדכון הערכת הסיכון.
משפט הנוסחה לביאס הוא
Deen P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) איפה: P (A) = ההסתברות לפתח A (B)) = ההסתברות של B להתרחש P (A∣B) = ההסתברות ל- A נתון BP (B∣A) = ההסתברות של B שניתנה AP (A⋂B)) = ההסתברות של A ו- B להתרחש
משפט בייס הסביר
יישומי המשפט הם נפוצים ולא מוגבלים לתחום הכספי. כדוגמה, ניתן להשתמש במשפט של בייס כדי לקבוע את הדיוק של תוצאות הבדיקה הרפואית על ידי התחשבות בסבירות סבירותו של אדם מסוים למחלה ולדיוק הכללי של הבדיקה. משפט בייס מסתמך על שילוב התפלגויות הסתברות קודמות על מנת לייצר הסתברות אחורית. הסתברות מוקדמת, בהשוואה סטטיסטית בייסית, היא ההסתברות לאירוע לפני שנאסף נתונים חדשים. זו ההערכה הרציונאלית הטובה ביותר של ההסתברות לתוצאה על סמך הידע הנוכחי לפני ביצוע ניסוי. הסתברות אחורית היא ההסתברות המתוקנת לאירוע שיתרחש לאחר התחשבות במידע חדש. ההסתברות האחורית מחושבת על ידי עדכון ההסתברות הקודמת על ידי שימוש במשפט של בייס. במונחים סטטיסטיים, ההסתברות האחורית היא ההסתברות לאירוע A בהינתן שהאירוע B התרחש.
המשפט של בייס נותן אפוא את ההסתברות לאירוע המבוסס על מידע חדש הקשור, או עשוי להיות קשור, לאותו אירוע. ניתן להשתמש בפורמולה כדי לראות כיצד ההסתברות להתרחשות אירוע מושפעת ממידע חדש היפותטי, בהנחה שהמידע החדש יתברר כנכון. למשל, נניח שכרטיס בודד נמשך מחפיסה שלמה של 52 קלפים. ההסתברות שהכרטיס הוא מלך הוא 4 חלקי 52, השווים ל- 1/13 או כ- 7.69%. זכרו שיש בסיפון 4 מלכים. כעת, נניח שנחשף שהכרטיס שנבחר הוא כרטיס פנים. ההסתברות שהכרטיס שנבחר הוא מלך, בהינתן שהוא כרטיס פנים, הוא 4 חלקי 12, או בערך 33.3%, מכיוון שיש 12 קלפי פנים בסיפון.
נגזרת של נוסח נוסח המשפט של בייס עם דוגמא
המשפט של בייס נובע פשוט מהאקסיומות של ההסתברות המותנית. הסתברות מותנית היא ההסתברות לאירוע בהתחשב בכך שאירוע אחר התרחש. לדוגמה, שאלת הסתברות פשוטה עשויה לשאול: "מה ההסתברות של מחיר המניה של Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?" ההסתברות המותנית לוקחת את השאלה הזו צעד אחד קדימה על ידי השאלה: "מה ההסתברות לנפילת מחיר AMZN בהתחשב בעובדה שמדד ה- DIA ג'ונס התעשייה הממוצע ירד מוקדם יותר?"
ההסתברות המותנית של A בהינתן ש- B קרה יכולה לבוא לידי ביטוי כ:
אם A הוא: "מחיר AMZN נופל" אז P (AMZN) הוא ההסתברות ש- AMZN נופל; ו- B הוא: "DJIA כבר למטה", ו- P (DJIA) הוא ההסתברות ש- DJIA נפל; ואז הביטוי ההסתברות המותנה קורא כ"ההסתברות ש- AMZN יורדת בהינתן ירידת DJIA שווה לסיכוי ש- AMZN יורדת ומחיר ה- DJIA יורד ביחס להסתברות לירידה במדד ה- DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN ו- DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN ו- DJIA) הוא ההסתברות להתרחשות של A וגם B. זה גם זהה להסתברות של התרחשות A כפול ההסתברות ש- B מתרחשת בהתחשב בכך ש- A מתרחשת, המתבטאת כ- P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). העובדה ששני הביטויים הללו שווים מובילה למשפט של בייס, שנכתב כ:
אם, P (AMZN ו- DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
ואז, P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
שם P (AMZN) ו- P (DJIA) הם ההסתברויות של אמזון והדאו ג'ונס נופלים, בלי להתייחס זה לזה.
הנוסחה מסבירה את הקשר בין ההסתברות להשערה לפני שראתה את ההוכחות לכך ש- P (AMZN), וההסתברות להשערה לאחר שקיבלו את ההוכחות P (AMZN | DJIA), ניתנה השערה לאמזון שניתנה עדות בדאו.
דוגמה נומרית למשפט של בייס
כדוגמה מספרית, דמיין שיש בדיקת תרופות שמדויקת ב 98% - כלומר 98% מהזמן שהיא מראה תוצאה חיובית אמיתית עבור מישהו שמשתמש בתרופה ו 98% מהזמן שהיא מראה תוצאה שלילית אמיתית עבור אנשים שאינם משתמשים בהם. סם. בשלב הבא, נניח כי 0.5% מהאנשים משתמשים בתרופה. אם אדם שנבחר בבדיקות אקראיות חיובי לתרופה, ניתן לבצע את החישוב הבא בכדי לבדוק אם ההסתברות שהאדם הוא בעצם משתמש בתרופה.
(0.98 x 0.005) / = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
המשפט של באיס מראה כי גם אם אדם נבדק חיובי בתרחיש זה, למעשה סביר להניח כי האדם אינו משתמש בתרופה.
