כיצד להשתמש בהדמיית מונטה קרלו עם gbm

אחת הדרכים הנפוצות להערכת סיכון היא השימוש בסימולציה של מונטה קרלו (MCS). לדוגמה, כדי לחשב את הערך בסיכון (VaR) של תיק, נוכל להפעיל סימולציה של מונטה קרלו שמנסה לחזות את ההפסד הסביר ביותר לתיק בהינתן מרווח ביטחון לאורך אופק זמן מוגדר (אנו תמיד צריכים לציין שניים תנאים ל- VaR: ביטחון ואופק)., נסקור MCS בסיסי המיושם על מחיר מניה באמצעות אחד מהדגמים הנפוצים ביותר בתחום הפיננסים: תנועה בראונית גיאומטרית (GBM). לכן, בעוד שהדמיית מונטה קרלו יכולה להתייחס ליקום של גישות שונות לסימולציה, נתחיל כאן עם הבסיסי ביותר.

איפה להתחיל

סימולציה של מונטה קרלו היא ניסיון לחזות את העתיד פעמים רבות. בסוף ההדמיה, אלפי או מיליוני "ניסויים אקראיים" מייצרים התפלגות של תוצאות הניתנות לניתוח. השלבים הבסיסיים הם כדלקמן:

1. ציין דגם (למשל GBM)

למאמר זה נשתמש בתנועה גיאומטרית בראונית (GBM), שהיא טכנית תהליך של מרקוב. משמעות הדבר היא כי מחיר המניה עוקב אחר הליכה אקראית ועולה בקנה אחד עם (לכל הפחות) הצורה החלשה של השערת השוק היעילה (EMH) - מידע על מחירים עדכני כבר משולב, ותנועת המחירים הבאה היא "עצמאית על תנאי" מהעבר תנועות מחירים.

הנוסחה עבור GBM נמצאת להלן:

Deen $\begin{matrix} \frac{Δ ס}{ס} = μ Δ t + σ ϵ \sqrt{Δ t} \\ איפה: \\ ס = מחיר המניה \\ Δ ס = השינוי במחיר המניות \\ μ = התשואה הצפויה \\ σ = סטיית התקן של החזרות \\ ϵ = המשתנה האקראי \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {איפה:} \ & S = \ text {מחיר המניה} \ & \ Delta S = \ text {השינוי במחיר המניה} \ & \ mu = \ text {התשואה הצפויה} \ & \ sigma = \ text {סטיית התקן של מחזירה} \ & \ epsilon = \ טקסט {המשתנה האקראי} \ & \ דלתא t = \ טקסט {פרק הזמן שחלף} end {יישר}$ SΔS = μΔt + σϵΔt איפה: S = מחיר המניהΔS = השינוי במחיר המניהμ = התשואה הצפויהσ = סטיית התקן של החזרות = המשתנה האקראי

אם נסדר מחדש את הנוסחה כדי לפתור רק עבור השינוי במחיר המניות, אנו רואים ש- GBM אומר שהשינוי במחיר המניות הוא מחיר המניה "S" כפול שני המונחים שנמצאים בתוך הסוגריים שלהלן:

Deen $Δ ס = ס \times (μ Δ t + σ ϵ \sqrt{Δ t}) \ דלתא S \ = \ S \ \ פעמים ( mu \ דלתא t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)

המונח הראשון הוא "סחף" והמונח השני הוא "הלם". עבור כל תקופת זמן, המודל שלנו מניח שהמחיר "יעלה" על ידי התשואה הצפויה. אך ההיסחפות תדהים (יתווספו או יחסרו) מהלם אקראי. ההלם האקראי יהיה סטיית התקן "כ"כפול מספר אקראי" ה ". זו פשוט דרך לקנה מידה של סטיית התקן.

זו המהות של GBM, כפי שמודגם באיור 1. מחיר המניה עוקב אחר סדרת שלבים, כאשר כל צעד הוא סחף פלוס מינוס הלם אקראי (כשלעצמו פונקציה של סטיית התקן של המניה):

2. צור ניסויים אקראיים

חמושים במפרט מודל, אנו ממשיכים לבצע ניסויים אקראיים. לשם המחשה, השתמשנו ב- Microsoft Excel כדי להריץ 40 ניסויים. קחו בחשבון שמדובר במדגם קטן ולא מציאותי; רוב ההדמיות או "הסימס" מריצים לפחות כמה אלפי ניסויים.

במקרה זה, נניח שהמניה מתחילה ביום אפס עם מחיר של 10 דולר. להלן תרשים של התוצאה שבה כל שלב זמן (או מרווח) הוא יום אחד והסדרה נמשכת עשרה ימים (לסיכום: ארבעים ניסויים עם צעדים יומיים לאורך עשרה ימים):

התוצאה היא ארבעים מחירי מניות מדומים בסוף 10 יום. אף אחד מהם לא צנח במקרה של 9 דולר, ואחד מהם מעל 11 $.

3. עבד את הפלט

ההדמיה הניבה התפלגות של תוצאות עתידיות היפותטיות. נוכל לעשות כמה דברים עם התפוקה.

אם, למשל, אנו רוצים להעריך את VaR בביטחון של 95%, נצטרך רק לאתר את התוצאה המדורגת שלושים ושמונה (התוצאה השלישית הגרועה ביותר). הסיבה לכך היא ש- 2/40 שווה ל- 5%, כך שתי התוצאות הגרועות ביותר הן ב -5% הנמוכות ביותר.

אם נערם את התוצאות המצוירות לפחים (כל סל הוא שליש מ- $ 1, כך ששלוש פחים מכסים את המרווח בין $ 9 ל- $ 10), נקבל את ההיסטוגרמה הבאה:

זכור כי מודל ה- GBM שלנו מניח נורמליות; החזר מחירים מופץ בדרך כלל עם תשואה צפויה (ממוצעת) "m" וסטיית תקן "." מעניין שההיסטוגרמה שלנו לא נראית תקינה. לאמיתו של דבר, עם יותר ניסויים הוא לא יטה לנורמליות. במקום זאת, הוא יטה לכיוון חלוקה לוגנלית: ירידה חדה משמאל לממוצע ו"זנב ארוך "מפותל מאוד מימין לממוצע.

זה מוביל לעתים קרובות לדינמיקה שעשויה להיות מבלבלת עבור סטודנטים בפעם הראשונה:

החזר מחירים מופץ בדרך כלל. רמות המחירים מופצות בדרך כלל ביומן.

חשבו על זה ככה: מלאי יכול לחזור או לרדת או לרדת 5% או 10%, אך לאחר פרק זמן מסוים, מחיר המניה לא יכול להיות שלילי. יתר על כן, לעליית המחירים על הצד הפוך יש השפעה מורכבת, בעוד שהירידות במחיר החיסרון מצמצמות את הבסיס: הפסידו 10% ונשאר לכם עם פחות להפסיד בפעם הבאה.

להלן תרשים של ההתפלגות הלוגנמלית שמונחת על ההנחות המאויירות שלנו (למשל מחיר התחלתי של 10 $):

בשורה התחתונה

סימולציה של מונטה קרלו מיישמת מודל נבחר (שמציין את התנהגות מכשיר) על קבוצה גדולה של ניסויים אקראיים בניסיון לייצר קבוצה סבירה של תוצאות עתידיות אפשריות. לגבי הדמיות מחירי המניות, הדגם הנפוץ ביותר הוא תנועה בראונית גיאומטרית (GBM). GBM מניח שנסחף מתמיד מלווה בזעזועים אקראיים. בעוד שמחזרי התקופה תחת GBM מופצים בדרך כלל, רמות המחירים הרבות-תקופתיות (למשל, עשרה ימים) כתוצאה מכך מופצות באופן לוגני.

תוכן עניינים: