הגדרת קשר ליניארי

מהי מערכת יחסים לינארית?

קשר ליניארי (או אסוציאציה ליניארית) הוא מונח סטטיסטי המשמש לתיאור קשר ישר בין משתנה לקבוע. קשרים לינאריים יכולים לבוא לידי ביטוי בפורמט גרפי בו המשתנה והקבוע מחוברים דרך קו ישר או בפורמט מתמטי בו המשתנה הבלתי תלוי מוכפל על ידי מקדם השיפוע, נוסף על ידי קבוע הקובע את המשתנה התלוי.

קשר לינארי עשוי להיות מנוגד לקשר פולינומי או לא לינארי (מעוקל).

Takeaways מפתח

קשר ליניארי (או אסוציאציה ליניארית) הוא מונח סטטיסטי המשמש לתיאור קשר ישר בין משתנה לקבוע. מערכות יחסים לינאריות יכולות לבוא לידי ביטוי בפורמט גרפי או כמשוואה מתמטית של הצורה y = mx + b מערכות יחסים לינאריות נפוצות למדי בחיי היומיום.

המשוואה הליניארית היא:

מבחינה מתמטית, קשר לינארי הוא זה שמספק את המשוואה:

Deen $\begin{matrix} y = M איקס + ב \\ איפה: \\ M = מדרון \\ ב = y- יירוט \end{matrix} \ התחל {מתואם} & y = mx + b \\ & \ textbf {איפה:} \ & m = \ text {מדרון} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {ישר}$ Y = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

במשוואה זו, "x" ו- "y" הם שני משתנים הקשורים לפרמטרים "m" ו- "b". מבחינה גרפית, y = mx + b זומם במישור ה- xy כקו עם המדרון “m” ו- y-intercept “b.” יירוט ה- y “b” הוא פשוט הערך של “y” כאשר x = 0. המדרון "m" מחושב מכל שתי נקודות בודדות (x ₁, y ₁) ו- (x ₂, y ₂) כ:

Deen $M = \frac{(y_{2} - y_{1})}{({איקס}_{2} - {איקס}_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

קשר ליניארי

מה מערכת יחסים ליניארית אומרת לך?

ישנן שלוש קבוצות של קריטריונים הכרחיים שעל משוואה לעמוד בכדי להיות כשלים לינאריים: משוואה המבטאת קשר ליניארי לא יכולה להיות מורכבת ביותר משני משתנים, כל המשתנים במשוואה חייבים להיות לעוצמה הראשונה, והמשוואה חייבת להיות גרף כקו ישר.

פונקציה לינארית במתמטיקה היא כזו שמספקת את המאפיינים של תוספות והומוגניות. פונקציות לינאריות עוקבות גם בעקרון הסופרפוזיציה, הקובע כי תפוקת הרשת של שני תשומות או יותר שווה לסכום תפוקות התשומות הבודדות. קשר לינארי נפוץ הוא מתאם, המתאר כיצד משתנה אחד משתנה באופן לינארי לשינויים במשתנה אחר.

בתחום הכלכלה, רגרסיה לינארית היא שיטה המשמשת לעיתים קרובות ליצירת קשרים ליניאריים כדי להסביר תופעות שונות. עם זאת, לא כל מערכות היחסים הינן לינאריות. נתונים מסוימים מתארים מערכות יחסים מעוקלות (כגון יחסי פולינום) בעוד שלא ניתן לפרמטר נתונים אחרים.

פונקציות לינאריות

דומה מבחינה מתמטית למערכת יחסים ליניארית הוא המושג פונקציה לינארית. במשתנה אחד ניתן לכתוב פונקציה לינארית באופן הבא:

Deen $\begin{matrix} ו (איקס) = M איקס + ב \\ איפה: \\ M = מדרון \\ ב = y- יירוט \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {איפה:} \ & m = \ text {מדרון} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {ישר}$ F (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

זהה לנוסחה הנתונה למערכת יחסים ליניארית פרט לכך שהסמל f (x) משמש במקום y. החלפה זו נעשית כדי להדגיש את המשמעות ש- x ממופה ל- f (x), ואילו השימוש ב- y מעיד פשוט ש- x ו- y הם שני כמויות, הקשורות ל- A ו- B.

במחקר האלגברה ליניארית, תכונות פונקציות ליניאריות נחקרות בהרחבה והופכות לקפדניות. בהינתן סולם C ושני וקטורים A ו- B מ- R ^N, ההגדרה הכללית ביותר של פונקציה ליניארית קובעת כי: $ג \times ו (א + ב) = ג \times ו (א) + ג \times ו (ב) c \ פעמים f (A + B) = c \ פעמים f (A) + c \ פעמים f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

דוגמאות ליחסים לינאריים

דוגמא 1

מערכות יחסים לינאריות הן די שכיחות בחיי היומיום. בוא ניקח למשל את מושג המהירות. הנוסחה שאנו משתמשים בכדי לחשב מהירות היא כדלקמן: קצב המהירות הוא המרחק שנסע לאורך זמן. אם מישהו באזור המיניוואן של קרייזלר טאון לבנה משנת 2007 נוסע בין סקרמנטו למרישוויל בקליפורניה, מרחק של 41.3 ק"מ בכביש 99, וסיים את המסע כארבעים דקות, היא תיסע ממש מתחת ל 60 קמ"ש.

אמנם יש יותר משני משתנים במשוואה זו, אך עדיין מדובר במשוואה לינארית מכיוון שאחד המשתנים תמיד יהיה קבוע (מרחק).

דוגמא 2

ניתן למצוא קשר לינארי במרחב המשוואה = קצב x זמן. מכיוון שמרחק הוא מספר חיובי (ברוב המקרים), קשר ליניארי זה יבוא לידי ביטוי ברבע השמאלי העליון של גרף עם ציר X ו- Y.

אם אופניים המיועדים לשניים נוסעים בקצב של 30 מיילים לשעה למשך 20 שעות, הרוכב בסופו של דבר ייסע 600 מיילים. מיוצג בצורה גרפית עם המרחק על ציר ה- Y והזמן בציר ה- X, קו העוקב אחר המרחק במשך 20 השעות הללו ייסע היישר מההתכנסות של ציר ה- X וה- Y.

דוגמא 3

כדי להמיר את צלסיוס לפרנהייט, או פרנהייט לצלסיוס, היית משתמש במשוואות שלהלן. משוואות אלה מבטאות קשר לינארי בתרשים:

Deen $° ג = \frac{5}{9} (° ו - 32) \ תואר C = \ frac {5} {9} ( תואר F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

Deen $° ו = \frac{9}{5} (° ג + 32) \ תואר F = \ frac {9} {5} ( תואר C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

דוגמא 4

נניח שהמשתנה הבלתי תלוי הוא בגודל של בית (כפי שהוא נמדד על ידי קטעים מרובעים) שקובע את מחיר השוק של הבית (המשתנה התלוי) כאשר הוא מוכפל במקדם השיפוע של 207.65 ואז מתווסף לטווח הקבוע 10, 500 $. אם הקטעים המרובעים של הבית הם 1, 250, שווי השוק של הבית הוא (1, 250 x 207.65) + 10, 500 $ = 270, 062.50 $. מבחינה גרפית ומתמטית הוא מופיע כך:

בדוגמה זו, ככל שגודל הבית גדל, שווי השוק של הבית עולה בצורה ליניארית.

קשרים ליניאריים מסוימים בין שני אובייקטים יכולים להיקרא "קבוע של מידתיות". קשר זה מופיע

Deen $\begin{matrix} י = k \times איקס \\ איפה: \\ k = קבוע \\ י, איקס = כמויות מידתיות \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & Y = k \ פעמים X \\ & \ textbf {איפה:} \ & k = \ text {constant} \ & Y, X = \ text {כמויות פרופורציונליות} \ \ end {מתיישר}$ Y = k × Xwhere: k = constantY, X = כמויות פרופורציונליות

בעת ניתוח נתונים התנהגותיים, לעיתים רחוקות יש קשר לינארי מושלם בין משתנים. עם זאת, ניתן למצוא קווי מגמה בנתונים היוצרים גרסה גסה של מערכת יחסים ליניארית. לדוגמה, אתה יכול להסתכל על מכירת הגלידה ועל מספר ביקורי בית החולים כשני המשתנים המופיעים בתרשים ולמצוא קשר ליניארי בין השניים.

תוכן עניינים: