בעולם הפיננסי, Black-Scholes ומודלי הערכת האופציה הבינומית הם שני המושגים החשובים ביותר בתורת הפיננסיות המודרנית. שניהם משמשים להערכת אופציה, ולכל אחד היתרונות והחסרונות שלה.
חלק מהיתרונות הבסיסיים בשימוש במודל הבינומי הוא:
- מבט מרובה תקופות שקיפות יכולת לשלב הסתברויות
, נחקור את היתרונות שבשימוש במודל הבינומי במקום במודל Black-Scholes ונספק כמה צעדים בסיסיים לפיתוח המודל ולהסביר כיצד הוא משמש.
תצוגה מרובת תקופות
המודל הבינומי מספק תצוגה רב-תקופתית של מחיר הנכס הבסיסי כמו גם מחיר האופציה. בניגוד למודל Black-Scholes, המספק תוצאה מספרית על בסיס תשומות, המודל הבינומי מאפשר לחשב את הנכס ואת האופציה למספר תקופות יחד עם טווח התוצאות האפשריות לכל תקופה (ראה להלן).
היתרון בתצוגה רב-תקופתית זו הוא שהמשתמש יכול לדמיין את השינוי במחיר הנכס מתקופה לתקופה ולהעריך את האופציה על סמך החלטות שהתקבלו בנקודות זמן שונות. עבור אופציה מבוססת ארה"ב, שניתן לממש אותה בכל עת לפני תאריך התפוגה, המודל הבינומי יכול לספק תובנה מתי ניתן יהיה להשתמש במימוש האופציה ומתי יש להחזיק אותה לתקופות ארוכות יותר. על ידי התבוננות בעץ הערכים הבינומי, סוחר יכול לקבוע מראש מתי החלטה על תרגיל עשויה להתרחש. אם לאופציה יש ערך חיובי, קיימת אפשרות למימוש ואילו אם לאופציה יש ערך פחות מאפס, יש להחזיק אותה לתקופות ארוכות יותר.
שקיפות
בקשר הדוק עם הסקירה הרב-תקופתית היא היכולת של המודל הבינומי לספק שקיפות לערך הבסיס של הנכס ולאופציה ככל שמתקדם הזמן. לדגם השחור-שולס יש חמש כניסות:
- התעריף ללא סיכון מחיר המימוש המחיר הנוכחי של הנכס זמן לפדיון התנודתיות המרומזת של מחיר הנכס
כשנקודות נתונים אלו מוזנות במודל Black-Scholes, המודל מחשיב ערך עבור האופציה, אך ההשפעות של גורמים אלה לא נחשפות על בסיס תקופה לתקופה. באמצעות המודל הבינומי, סוחר יכול לראות את השינוי במחיר הנכס הבסיסי מתקופה לתקופה ואת השינוי המקביל במחיר האופציה.
שילוב הסתברויות
השיטה הבסיסית לחישוב מודל האפשרויות הבינומיות היא להשתמש באותה הסתברות בכל תקופה להצלחה וכישלון עד לפקיעה של האופציה. עם זאת, סוחר יכול לשלב הסתברויות שונות לכל תקופה על סמך מידע חדש המתקבל ככל שעובר הזמן.
לדוגמה, יתכן שיש סיכוי של 50/50 שמחיר הנכס הבסיסי יכול לעלות או לרדת ב 30 אחוז בתקופה אחת. אולם, לתקופה השנייה, ההסתברות שמחיר הנכס הבסיסי יעלה עשויה לגדול ל -70 / 30. לדוגמה, אם משקיע מעריך באר נפט, המשקיע אינו בטוח מה הערך של באר הנפט ההיא, אך יש סיכוי של 50/50 שהמחיר יעלה. אם מחירי הנפט יעלו בתקופה 1 והופכים את השמן ליותר טוב ויסודות השוק מצביעים כעת על המשך עליית מחירי הנפט, ההסתברות להתייקרות נוספת במחיר עשויה כעת להיות 70 אחוז. המודל הבינומי מאפשר גמישות זו; דגם הבלק-שולס לא.
פיתוח המודל
למודל הבינומי הפשוט ביותר יהיו שתי תשואות צפויות שההסתברויות שלהן מסתכמות במאה אחוזים. בדוגמה שלנו, יש שתי תוצאות אפשריות לבאר השמן בכל נקודת זמן. גרסה מורכבת יותר יכולה להיות בעלת שלוש תוצאות שונות או יותר, שלכל אחת מהן ניתנת הסתברות להתרחשות.
כדי לחשב את התשואות לכל תקופה החל מאפס אפס (עכשיו), עלינו לקבוע את ערך הנכס הבסיסי תקופה אחת מעכשיו. בדוגמה זו אנו מניחים את הדברים הבאים:
- מחיר הנכס הבסיסי (P): 500 $ מחיר מימוש אופציה לרכישה (K): 600 $ שיעור ללא ריבית לתקופה: 1 אחוז שינוי במחיר בכל תקופה: 30 אחוז למעלה או למטה
מחיר הנכס הבסיסי הוא 500 דולר ובתקופה 1 הוא יכול להיות שווה 650 או 350 דולר. זה יהיה המקבילה לעלייה או ירידה של 30 אחוז בתקופה אחת. מכיוון שמחיר המימוש של אופציות השיחה שאנו מחזיקים בהן הוא 600 $, אם הנכס הבסיסי בסופו של דבר נמוך מ- 600 $, שווי אופציית השיחה יהיה אפס. מצד שני, אם הנכס הבסיסי עולה על מחיר המימוש של 600 דולר, שווי אופציית השיחה יהיה ההפרש בין מחיר הנכס הבסיסי למחיר המימוש. הנוסחה לחישוב זה היא.
Deen Maxwhere: P = מחיר הנכס הבסיסי K = מחיר מימוש אופציה לרכישה
נניח שיש סיכוי של 50 אחוז לעלות וסיכוי של 50 אחוז לרדת. באמצעות ערכי התקופה 1 כדוגמה, זה מחושב כ-
Deen מקסימום ∗ 0.5 + מקסימום ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25
כדי לקבל את הערך הנוכחי של אפשרות השיחה עלינו להנחות את $ 25 בתקופה 1 חזרה לתקופה 0, שהיא
Deen 25 $ / (1 + 1%) = 24.75 $
כעת תוכלו לראות שאם ההסתברויות ישונו, הערך הצפוי של הנכס הבסיסי ישתנה גם הוא. אם יש לשנות את ההסתברות, ניתן לשנות אותה גם עבור כל תקופה שלאחר מכן ולא בהכרח חייבת להישאר זהה לאורך כל הדרך.
ניתן להרחיב את הדגם הבינומי בקלות לתקופות מרובות. למרות שמודל Black-Scholes יכול לחשב את התוצאה של תאריך תפוגה מורחב, המודל הבינומי מרחיב את נקודות ההחלטה למספר תקופות.
שימושים עבור הדגם הבינומי
בנוסף לשימוש בו כשיטה לחישוב שווי אופציה, ניתן להשתמש במודל הבינומי גם לפרויקטים או השקעות בדרגה גבוהה של אי וודאות, תקצוב הון והקצאת משאבים, ופרויקטים עם מספר תקופות או אפשרות משובצת להמשיך או לנטוש את הפרויקט בנקודות זמן מסוימות.
דוגמה אחת פשוטה היא פרויקט הכרוך בקידוח נפט. אי הוודאות של סוג זה של פרויקט האם בקרקע שנקדחה יש נפט כלשהו, כמות הנפט הניתנת לקידוח, אם השמן נמצא, והמחיר בו ניתן למכור את הנפט לאחר מיצויו.
מודל האופציה הבינומית יכול לסייע בקבלת החלטות בכל נקודה בפרויקט קידוח הנפט. לדוגמה, נניח שאנו מחליטים לקדוח, אך באר הנפט תהיה רווחית רק אם נמצא מספיק שמן ומחיר הנפט עולה על כמות מסוימת. ייקח פרק זמן מלא כדי לקבוע כמה שמן נוכל לחלץ, כמו גם את מחיר הנפט באותה נקודת זמן. לאחר התקופה הראשונה (שנה, למשל), אנו יכולים להחליט על סמך שתי נקודות הנתונים האלה אם להמשיך לקדוח או לנטוש את הפרויקט. ניתן לקבל החלטות אלה ברציפות עד שתושג נקודה בה אין שום ערך לקידוח, ובאותה שעה תנטוש הבאר.
בשורה התחתונה
המודל הבינומי נותן תצוגה מפורטת יותר בכך שהוא מאפשר צפיות מרובות תקופות של מחיר הנכס הבסיסי ומחיר האופציה למספר תקופות כמו גם טווח התוצאות האפשריות לכל תקופה. אמנם ניתן להשתמש גם במודל Black-Scholes וגם במודל הבינומי כדי להעריך אפשרויות, אך למודל הבינומי יש מגוון רחב יותר של יישומים, הוא אינטואיטיבי יותר ונוח יותר לשימוש.
