ריבית מורכבת רציפה

ריבית מורכבת היא ריבית המחושבת על הקרן הראשונית וגם על הריבית המצטברת של תקופות קודמות של פיקדון או הלוואה. השפעת הריבית המורכבת תלויה בתדירות.

נניח ריבית שנתית של 12%. אם נתחיל את השנה ב 100 $ ומתחם רק פעם אחת, בסוף השנה, הקרן גדלה ל 112 $ ($ 100 x 1.12 = 112 $). אם במקום זאת אנו מתחברים כל חודש ב -1%, אנו בסופו של דבר עם למעלה מ 112 $ בסוף השנה. כלומר 100 $ x 1.01 ^ 12 במחיר של 112.68 $. (זה גבוה מכיוון שהתרכחנו בתדירות גבוהה יותר.)

מחזורים מורכבים ברציפות מתחמים בתדירות הגבוהה ביותר מבין כולם. הרכבה רציפה היא המגבלה המתמטית שאליה יכול ריבית מורכבת להגיע. זהו מקרה קיצוני של הרכבה מכיוון שרוב הריבית מתרככת על בסיס חודשי, רבעוני או חצי שנתי.

שיעורי תשואה חצי שנתיים

ראשית, נסתכל על אמנה שעשויה להיות מבלבלת. בשוק האג"ח אנו מתייחסים לתשואה שקולה לאג"ח (או בסיס שווה ערך לאג"ח). המשמעות היא שאם איגרות חוב מניבות 6% על בסיס חצי שנתי, התשואה המקבילה לאג"ח שלה היא 12%.

תמונה מאת ג'ולי באנג © Investopedia 2019

התשואה החצי שנתית מוכפלת פשוט. זה עשוי להיות מבלבל מכיוון שהתשואה האפקטיבית של אג"ח תשואה שווה ערך ל -12% היא 12.36% (כלומר, 1.06 ^ 2 = 1.1236). הכפלת התשואה החצי שנתית היא רק אמנת שמות אג"ח. לכן, אם אנו קוראים על אג"ח של 8% המורכבת חצי שנתית, אנו מניחים שהכוונה היא לתשואה חצי שנתית של 4%.

שיעורי תשואה רבעוניים, חודשיים ויומיים

כעת, בואו נדבר על תדרים גבוהים יותר. אנו עדיין מניחים ריבית שוק שנתית של 12%. על פי מוסכמות שמות אגרות חוב, הדבר מרמז על שיעור מתחם חצי שנתי של 6%. כעת אנו יכולים לבטא את השיעור המורכב הרבעוני כפונקציה של ריבית השוק.

תמונה מאת ג'ולי באנג © Investopedia 2019

בהתחשב בשיעור שוק שנתי ( r), השיעור המורכב הרבעוני ( r _q) ניתן על ידי:

Deen Rq = 4

כך, למשל, כאשר שיעור השוק השנתי הוא 12%, השיעור המורכב הרבעוני הוא 11.825%:

Deen Rq = 4≅11.825%

תמונה מאת ג'ולי באנג © Investopedia 2019

היגיון דומה חל על הרכבה חודשית. השיעור המורכב החודשי ( r _m ) ניתן כאן כפונקציה של ריבית השוק השנתית ( r):

השיעור המורכב היומי ( ד) כפונקציה של ריבית השוק ( r) ניתן על ידי:

Deen rd = 360 = 360≅11.66%

איך עובד מתחם רציף

תמונה מאת ג'ולי באנג © Investopedia 2019

אם אנו מגדילים את התדר המורכב עד גבולו, אנו מתרכבים ברציפות. אמנם יתכן וזה לא פרקטי, הריבית המתחדשת ברציפות מציעה נכסים נוחים להפליא. מסתבר כי הריבית המורכבת ברציפות ניתנת על ידי:

Deen רציף = ln (1 + r)

Ln () הוא היומן הטבעי ובדוגמא שלנו, הקצב המורכב ברציפות הוא אפוא:

Deen רציף = ln (1 + 0.12) = ln (1.12) ≅11.33%

אנו מגיעים לאותו מקום על ידי לקיחת היומן הטבעי של יחס זה: ערך הסיום מחולק בערך ההתחלתי.

Deen Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11.33%

האחרון נפוץ בעת חישוב התשואה המורכבת ברציפות של מלאי. לדוגמה, אם המניה קופצת מ -10 $ ביום אחד ל -11 $ למחרת, התשואה היומית המורכבת ברציפות ניתנת על ידי:

Deen Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

מה כל כך נהדר בשיעור (או החזר) המורכב ברציפות שנציין עם r _c ? ראשית, קל להרחיב אותו קדימה. בהינתן מנהל של (P), העושר הסופי שלנו על פני (n) שנים ניתן על ידי:

Deen W = Perc n

שים לב ש- e היא הפונקציה האקספוננציאלית. לדוגמה, אם נתחיל ב 100 $ ונרכיב ברציפות 8% במשך שלוש שנים, העושר הסופי ניתן על ידי:

Deen W = $ 100e (0.08) (3) = $ 127.12

היוון לערך הנוכחי (PV) הוא רק מתחבר לאחור , ולכן הערך הנוכחי של ערך עתידי (F) המורכב ברציפות בשיעור של ( r _c) ניתן על ידי:

Deen PV של F שהתקבל בשנת (n) = erc nF = Fe − rc n

לדוגמה, אם אתה הולך לקבל 100 $ בשלוש שנים תחת שיעור רציף של 6%, הערך הנוכחי שלו ניתן על ידי:

Deen PV = Fe − rc n = ($ 100) e− (0.06) (3) = $ 100e − 0.18≅ $ 83.53

קנה מידה על פני תקופות מרובות

המאפיין הנוח של התשואות המורכבות ברציפות הוא שהוא משתנה לאורך תקופות מרובות. אם התשואה לתקופה הראשונה היא 4% והתשואה לתקופה השנייה היא 3%, אז התשואה לשתי התקופות היא 7%. קחו בחשבון שאנחנו מתחילים את השנה עם 100 דולר, שגדלים ל -120 דולר בסוף השנה הראשונה, ואז 150 דולר בסוף השנה השנייה. התשואות המורכבות ברציפות הן בהתאמה 18.23% ו 22.31%.

Deen Ln (100120) ≅18.23%

Deen Ln (120150) ≅22.31%

אם פשוט נוסיף את אלה יחד, נקבל 40.55%. זו התשואה לשתי התקופות:

Deen Ln (100150) ≅40.55%

מבחינה טכנית, ההחזרה הרציפה עקבית בזמן. עקביות בזמן היא דרישה טכנית לערך בסיכון (VAR). משמעות הדבר היא שאם תשואה לתקופה אחת היא משתנה אקראי מבוזר בדרך כלל, אנו רוצים שמשתנים אקראיים מרובי תקופות יחולקו בדרך כלל. יתר על כן, התשואה המורכבת ברציפות מרובה התקופות מופצת בדרך כלל (בניגוד, למשל, תשואה אחוזית פשוטה).

בשורה התחתונה

אנו יכולים לנסח מחדש את הריבית השנתית לריבית חצי שנתית, רבעונית, חודשית או יומית (או שיעורי תשואה). ההרכבה השכיחה ביותר היא הרכבה רציפה, המחייבת אותנו להשתמש ביומן טבעי ובפונקציה מעריכית, המשמשת בדרך כלל במימון בגלל תכונותיה הרצויות - היא מתרחשת בקלות לאורך מספר תקופות וזה זמן קבוע.