הבנת מודל תמחור האופציות הבינומיות

קביעת מחירי מניות

הסכמה על תמחור מדויק עבור כל נכס סחיר הוא מאתגר - זו הסיבה שמחירי המניות משתנים ללא הרף. במציאות, חברות כמעט ולא משנות את הערכות השווי שלהן ביום יום, אך מחירי המניות והערכות השווי שלהן משתנות כמעט בכל שנייה. קושי זה להגיע לקונצנזוס לגבי תמחור נכון עבור כל נכס סחיר מביא להזדמנויות ארביטראז 'קצרות מועד.

אבל הרבה השקעות מוצלחות מסתכמות בשאלה פשוטה של הערכת שווי של ימינו - מה המחיר הנוכחי הנכון כיום לתמורה צפויה בעתיד?

הערכת אפשרויות בינומינליות

בשוק תחרותי, כדי להימנע מהזדמנויות ארביטראז ', נכסים עם מבני תשלומים זהים חייבים להיות זהים למחיר. הערכת אופציות הייתה משימה מאתגרת ושונות התמחור מובילה להזדמנויות ארביטראז '. Black-Scholes נותר אחד הדגמים הפופולריים ביותר המשמשים לאפשרויות תמחור אך יש מגבלות.

מודל תמחור האופציות הבינומי הוא שיטה פופולרית נוספת המשמשת לאפשרויות תמחור.

דוגמאות

נניח שקיימת אופציית שיחה במניה מסוימת עם מחיר שוק שוטף של 100 $. לאפשרות הכספומט (ATM) יש מחיר שביתה של $ 100 עם תום הזמן לשנה. ישנם שני סוחרים, פיטר ופולה, ששניהם מסכימים כי מחיר המניה יעלה ל 110 $ או ייפול ל 90 $ בשנה אחת.

הם מסכימים על רמות המחירים הצפויות במסגרת נתונה של שנה אחת, אך חולקים על ההסתברות למהלך העלייה או הירידה. פיטר מאמין שההסתברות למחיר המניה ל -110 דולר היא 60%, ואילו פאולה מאמינה שזה 40%.

בהתבסס על זה, מי יהיה מוכן לשלם יותר מחיר עבור אפשרות השיחה? יתכן ופיטר, מכיוון שהוא מצפה להסתברות גבוהה למהלך העלייה.

חישובי אופציות בינומינליות

שני הנכסים, אשר הערכת השווי תלויה בהם, הם אופציית השיחה והמניה הבסיסית. יש הסכמה בין המשתתפים כי מחיר המניה הבסיסי יכול לעבור בין 100 הדולר הנוכחי ל -110 דולר או 90 דולר בשנה אחת ואין כל מהלכי מחיר אחרים האפשריים.

בעולם נטול ארביטראז ', אם עליכם ליצור תיק המורכב משני הנכסים הללו, אופציית השיחה והמניה הבסיסית, כך שבלי קשר לאן הולך המחיר הבסיסי - 110 $ או 90 $ - התשואה הנקי על התיק תמיד נשאר זהה. נניח שאתה קונה מניות "ד" של אפשרויות שיחה בסיסיות וקצרות אחת ליצירת תיק עבודות זה.

אם המחיר יעמוד על 110 $, המניות שלך יהיו שוות $ 110 * ד ', ותפסיד 10 דולר על התשלום הקצר. הערך הנקי של התיק שלך יהיה (110d - 10).

אם המחיר יורד ל 90 $, המניות שלך יהיו שוות $ 90 * d, והאופציה תפוג ללא ערך. הערך הנקי של התיק שלך יהיה (90d).

Deen $\begin{matrix} ח (ד) - M = l (ד) \\ איפה: \\ ח = המחיר הבסיסי הפוטנציאלי הגבוה ביותר \\ ד = מספר המניות הבסיסיות \\ M = כסף שהפסיד בפיצוי שיחה קצרה \\ l = המחיר הנמוך ביותר בבסיס בסיס \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {איפה:} \ & h = \ text {המחיר הגבוה ביותר בבסיס בסיס}} \ & d = \ text {מספר המניות הבסיסיות} \ & m = \ text {כסף שהפסיד בגין פיצוי שיחה קצרה} \ & l = \ text {מחיר נמוך ביותר הפוטנציאל הבסיסי הנמוך} \ \ end {מתאם}$ H (d) −m = l (d) איפה: h = פוטנציאל הגבוה ביותר במחיר בסיס = מספר המניות הבסיסיות = כסף שהפסיד בתשלומי שיחה קצרה = המחיר הבסיסי הפוטנציאלי הנמוך ביותר

כך שאם אתה קונה חצי מניה, בהנחה שרכישות שבריריות אפשריות, תצליח ליצור תיק עבודות כך ששוויו יישאר זהה בשני המצבים האפשריים בפרק הזמן הנתון של שנה.

Deen $\begin{matrix} 110 ד - 10 = 90 ד \\ ד = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {מתואם} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {lined}$ 110d − 10 = 90dd = 21

ערך תיק זה, המצוין על ידי (90d) או (110d - 10) = 45, הוא שנה מתחת לקו. כדי לחשב את הערך הנוכחי ניתן להפחית אותו בשיעור התשואה נטול הסיכון (בהנחה של 5%).

Deen $\begin{matrix} ערך נוכחי & = 90 ד \times ה^{(- 5 % \times 1 שנה)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} טקסט {ערך נוכחי} & = 90d \ פעמים e ^ {(-5 \% \ פעמים 1 \ טקסט {שנה})} \ & = 45 \ פעמים 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ סוף {מתואם}$ ערך נוכחי = 90d × e (−5% × שנה) = 45 × 0.9523 = 42.85

מכיוון שכרגע התיק מורכב מחצי מניה בבסיס (עם מחיר שוק של 100 $) ושיחה אחת קצרה, עליו להיות שווה לערך הנוכחי.

Deen $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times מחיר שיחה = $ 42.85 \\ מחיר שיחה = $ ז . 14 כלומר מחיר השיחה של היום \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ frac {1} {2} פעמים 100 - 1 \ פעמים \ טקסט {מחיר שיחה} = \ $ 42.85 \\ & \ text {מחיר שיחה} = \ $ 7.14 \ טקסט {כלומר מחיר השיחה של היום} \ \ סוף {מיושר}$ 21 × 100−1 × מחיר שיחה = 42.85 $ מחיר התקשרות = 7.14 $, כלומר מחיר השיחה של היום

מכיוון שהדבר מתבסס על ההנחה שערך התיק נותר זהה ללא קשר לאופן בו הולך המחיר הבסיסי, ההסתברות לעלייה או לעלייה למטה אינה משחקת שום תפקיד. התיק נותר נטול סיכון ללא קשר למהלכי המחירים הבסיסיים.

בשני המקרים (ההנחה שתעלה ל 110 $ ומטה לעבור ל 90 $), תיק העבודות שלך הוא ניטרלי לסיכון ומרוויח את שיעור התשואה נטול הסיכון.

מכאן ששני הסוחרים, פיטר ופולה, היו מוכנים לשלם את אותם 7.14 דולר עבור אפשרות שיחה זו, למרות התפיסה השונה שלהם לגבי ההסתברויות לעלייה (60% ו -40%). ההסתברויות הנתפסות באופן אינדיבידואלי לא חשובות בהערכת שווי אופציות.

אם נניח שבמקום שההסתברויות הבודדות חשובות, יתכן והזדמנויות ארביטראז הציגו את עצמן. בעולם האמיתי, קיימות הזדמנויות ארביטראזיות כאלה עם הפרשי מחירים קלים ונעלמות בטווח הקצר.

אבל איפה התנודתיות המוערצת בכל החישובים האלה, גורם חשוב ורגיש שמשפיע על תמחור האופציות?

התנודתיות כלולה כבר מאופי ההגדרה של הבעיה. בהנחה שניים (ורק שניים - ומכאן השם "בינומיאל") מצבי רמות מחירים ($ 110 ו -90 $), התנודתיות כרוכה בהנחה זו ונכללת אוטומטית (10% כך או כך בדוגמה זו).

שחור-שולס

אך האם גישה זו נכונה וקוהרנטית לתמחור Black-Scholes הנפוץ? תוצאות מחשבון האפשרויות (באדיבות OIC) תואמות מקרוב את הערך המחושב:

לרוע המזל, העולם האמיתי אינו פשוט כמו "רק שתי מדינות." המניה יכולה להגיע למספר רמות מחיר לפני שתום התום.

האם ניתן לכלול את כל הרמות המרובות הללו במודל תמחור בינומי שמוגבל לשתי רמות בלבד? כן, זה אפשרי מאוד, אבל כדי להבין את זה דרוש קצת מתמטיקה פשוטה.

מתמטיקה פשוטה

להכללת הבעיה והפתרון הזה:

"X" הוא מחיר השוק הנוכחי של מניה ו- "X * u" ו- "X * d" הם המחירים העתידיים למהלכים מעלה ומטה שנים "לאחר מכן". הגורם "u" יהיה גדול מאחד מכיוון שהוא מצביע על מהלך למעלה ו- "d" ישכב בין אפס לאחד. בדוגמה לעיל u = 1.1 ו- d = 0.9.

התשלומים באופציית השיחה הם "P _למעלה " ו- "P _dn " עבור מהלכים מעלה ומטה בזמן התפוגה.

Deen $\begin{matrix} VUM = s \times איקס \times u - ע_{למעלה} \\ איפה: \\ VUM = ערך התיק במקרה של עלייה \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ text {VUM} = s \ פעמים X \ פעמים u - P_ \ text {למעלה} \ & \ textbf {איפה:} \ & \ text {VUM} = \ text {ערך התיק במקרה של עלייה} \ \ end {מתואם}$ VUM = s × X × u − קופ איפה: VUM = ערך התיק במקרה של עלייה

Deen $\begin{matrix} VDM = s \times איקס \times ד - ע_{מטה} \\ איפה: \\ VDM = ערך התיק במקרה של מעבר למטה \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ text {VDM} = s \ פעמים X \ פעמים d - P_ \ text {למטה} \ & \ textbf {איפה:} \ & \ text {VDM} = \ text {ערך התיק במקרה של תנועה למטה} \ \ end {lined}$ VDM = s × X × d − Pdown איפה: VDM = ערך התיק במקרה של מעבר למטה

להערכה דומה בכל מקרה של מעבר מחיר:

Deen $s \times איקס \times u - ע_{למעלה} = s \times איקס \times ד - ע_{מטה} s \ פעמים X \ פעמים u - P_ \ text {למעלה} = s \ פעמים X \ פעמים d - P_ \ text {למטה}$ s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown

Deen $\begin{matrix} s & = \frac{ע_{למעלה} - ע_{מטה}}{איקס \times (u - ד)} \\ = מספר המניות לרכישה עבור \\ תיק נטול סיכון \end{matrix} \ begin {מתואם} s & = \ frac {P_ \ text {למעלה} - P_ \ text {למטה}} {X \ פעמים (u - d)} \ & = \ text {מספר המניות לרכישה עבור} \ & \ פנטום {=} טקסט {תיק ללא סיכון} \ \ end {מתואם}$ s = X × (u − d) Pup −down = מספר המניות לרכישה עבור = תיק ללא סיכון

הערך העתידי של התיק בסוף שנות "t" יהיה:

Deen $\begin{matrix} במקרה של מעבר למעלה & = s \times איקס \times u - ע_{למעלה} \\ = \frac{ע_{למעלה} - ע_{מטה}}{u - ד} \times u - ע_{למעלה} \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} טקסט {במקרה של העבר למעלה} & = s \ פעמים X \ פעמים u - P_ \ text {למעלה} \ & = \ frac {P_ \ text {למעלה} - P_ \ text {למטה} } {u - d} פעמים u - P_ \ טקסט {למעלה} \ \ end {ישר}$ במקרה של העברה מעלה = s × X × u − Pup = u − dPup − Down × u − Pup

Deen $\begin{matrix} במקרה של Down Down & = s \times איקס \times ד - ע_{מטה} \\ = \frac{ע_{למעלה} - ע_{מטה}}{u - ד} \times ד - ע_{מטה} \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} טקסט {במקרה של הזזת מטה} & = s \ פעמים X \ פעמים d - P_ \ text {למטה} \ & = \ frac {P_ \ text {למעלה} - P_ \ text {למטה} } {u - d} פעמים d - P_ \ טקסט {למטה} \ \ end {ישר}$ במקרה של הזזת מטה = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

ניתן להשיג את הערך הנוכחי על ידי היוון אותו בשיעור התשואה נטול הסיכון:

Deen $\begin{matrix} PV = ה (- r t) \times \\ איפה: \\ PV = ערך ימינו \\ r = שיעור התשואה \\ t = זמן, בעוד שנים \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ text {PV} = e (-rt) פעמים \ שמאל \\ & \ textbf {איפה:} \ & \ text {PV} = \ text {ערך ימינו} \ & r = \ text {שיעור ההחזרה} \ & t = \ text {זמן, בשנים} \ \ end {מתואם}$ PV = e (−rt) × איפה: PV = מעריך ימינו = שיעור ההחזר = זמן, בשנים

זה אמור להיות תואם להחזקת התיקים של מניות "s" במחיר X, וערך השיחה הקצר "c" (החזקה של ימינו של (s * X - c) צריך להיות שווה לחישוב זה.) הפתרון עבור "c" נותן לו סוף סוף כפי ש:

הערה: אם פרמיית השיחה מתקצרת, היא צריכה להיות תוספת לתיק העבודות ולא חיסור.

Deen $ג = \frac{ה (- r t)}{u - ד} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} פעמים$ c = u − de (−rt) ×

דרך נוספת לכתוב את המשוואה היא לסדר אותה מחדש:

לוקח "ש" כ:

Deen $ש = \frac{ה (- r t) - ד}{u - ד} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

ואז המשוואה הופכת:

Deen $ג = ה (- r t) \times (ש \times ע_{למעלה} + (1 - ש) \times ע_{מטה}) c = e (-rt) פעמים (q \ פעמים P_ \ text {למעלה} + (1 - q) פעמים P_ \ text {למטה})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

סידור מחדש של המשוואה במונחים של "ש" הציע נקודת מבט חדשה.

עכשיו אתה יכול לפרש את "q" כהסתברות לתנועת העל של הבסיס (שכן "q" קשור ל- P _למעלה ו "1-q" קשור ל- P _dn). בסך הכל, המשוואה מייצגת את מחיר האופציה של ימינו, את הערך המהוון של התשלום שלו בתום פקיעתו.

ה"ש "הזה שונה

במה ההסתברות "ש" שונה מההסתברות לעלייה למעלה או למטה למטה של הבסיס?

Deen $\begin{matrix} VSP = ש \times איקס \times u + (1 - ש) \times איקס \times ד \\ איפה: \\ VSP = ערך מחיר המניה בזמן t \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ text {VSP} = q \ פעמים X \ פעמים u + (1 - q) פעמים X \ פעמים d \\ & \ textbf {איפה:} \ & \ text {VSP} = \ טקסט {ערך מחיר המניה בזמן} t \\ \ end {מתואם}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = ערך מחיר המניה בזמן t

החלפת הערך של "ש" וסידור מחדש, מחיר המניה בזמן "t" מגיע ל:

Deen $\begin{matrix} מחיר מניה = ה (r t) \times איקס \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & \ text {מחיר המניה} = e (rt) פעמים X \\ \ end {ישר}$ מחיר מלאי = e (rt) × X

בעולם משוער זה של שתי מדינות, מחיר המניה פשוט עולה בשיעור התשואה נטול הסיכון, בדיוק כמו נכס נטול סיכון, ומכאן שהוא נשאר בלתי תלוי בסיכון כלשהו. המשקיעים אדישים לסיכון על פי מודל זה, ולכן זה מהווה את המודל נייטרלי הסיכון.

ההסתברות "q" ו- "(1-q)" ידועות כהסתברויות נייטרליות-סיכון ושיטת ההערכה ידועה כמודל הערכת-הסיכון ניטרלי.

לתרחיש הדוגמא יש דרישה חשובה אחת - מבנה השכר העתידי נדרש בדיוק (רמה 110 $ ו 90 $). בחיים האמיתיים, בהירות כזו לגבי רמות מחירים מבוססות צעדים אינה אפשרית; במקום זאת המחיר נע באופן אקראי ועשוי להתיישב ברמות מרובות.

כדי להרחיב את הדוגמא עוד יותר, נניח שרמות מחיר דו-שלביות אפשריות. אנו מכירים את התשלומים הסופיים בשלב השני ועלינו להעריך את האופציה היום (בשלב הראשוני):

בעבודה לאחור ניתן לבצע את הערכת השלב הראשון ביניים (ב t = 1) באמצעות התשלומים הסופיים בשלב שני (t = 2), ואז באמצעות הערכת השווי הראשונית המחושבת הללו (t = 1), הערכת השווי של ימינו (t = ניתן להגיע אל 0) בעזרת חישובים אלה.

כדי לקבל תמחור אופציות במספר שתיים, משתמשים בתגמולים בארבע ובחמש. כדי לקבל תמחור למספר שלוש משתמשים בתמורות בחמש ושש. לבסוף משתמשים בתשלומים מחושבים בשתיים ושלוש כדי לקבל תמחור במספר אחד.

שימו לב שדוגמא זו מניחה את אותו הגורם למהלכים למעלה (ולמטה) בשני השלבים - u ו- d מיושמים בצורה מורכבת.

דוגמא עובדת

נניח שאופציית מכר עם מחיר שביתה של 110 $ נסחרת כעת ב 100 $ ותוקפה יפוג בעוד שנה. השיעור נטול הסיכון השנתי הוא 5%. המחיר צפוי לעלות ב 20% ולרדת ב 15% כל חצי שנה.

כאן, u = 1.2 ו- d = 0.85, x = 100, t = 0.5

באמצעות הנוסחה הנגזרת של

Deen $ש = \frac{ה (- r t) - ד}{u - ד} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

אנו מקבלים q = 0.35802832

ערך אופציית המכר בנקודה 2, Deen $\begin{matrix} ע_{2} = ה (- r t) \times (ע \times ע_{upup} + (1 - ש) ע_{עדכון}) \\ איפה: \\ ע = מחיר אופציית המכר \end{matrix} \ להתחיל {מיושר} & p_2 = e (-rt) פעמים (p \ פעמים P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {איפה:} \ & p = \ text {מחיר אופציית המכירה} \ \ סוף {מיושר}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) איפה: p = מחיר אופציית המכר

במצב _Upup P, הבסיס יהיה = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 שמוביל ל- P _upup = אפס

במצב P _updn, הבסיס יהיה = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 שמוביל ל- P _updn = $ 8

במצב P _dndn, הבסיס יהיה = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 שמוביל ל- P _dndn = $ 37.75

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

באופן דומה, עמ ' ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

Deen $ע_{1} = ה (- r t) \times (ש \times ע_{2} + (1 - ש) ע_{3}) p_1 = e (-rt) פעמים (q \ פעמים p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

ומכאן ערך אופציית המכר, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18.29 $.

באופן דומה, מודלים בינומיים מאפשרים לך לשבור את משך האפשרויות כולו כדי לעודד מספר רב של שלבים ורמות. באמצעות תוכניות מחשב או גיליונות אלקטרוניים, אתה יכול לעבוד אחורה צעד אחד בכל פעם כדי לקבל את הערך הנוכחי של האפשרות הרצויה.

דוגמה אחרת

נניח אפשרות מכר מסוג אירופה עם תום 9 חודשים, מחיר שביתה של 12 $ ומחיר בסיסי שוטף עומד על 10 $. נניח שיעור ללא סיכון של 5% לכל התקופות. נניח שכל שלושה חודשים, המחיר הבסיסי יכול לנוע 20% למעלה או למטה, ולתת לנו u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 ועץ דו-מיניאלי בן שלושה שלבים.

אדום מציין מחירים בסיסיים, ואילו כחול מציין את התשלום של אופציות מכר.

ההסתברות נייטרלית לסיכון "ש" מחושבת ל- 0.531446.

בעזרת הערך לעיל של "q" וערכי התשלום ב t = תשעה חודשים, הערכים המקבילים t = שישה חודשים מחושבים כ:

יתר על כן, באמצעות ערכים מחושבים אלה ב t = 6, הערכים ב t = 3 ואז ב t = 0 הם:

זה נותן את הערך הנוכחי של אופציית מכר כ- 2.18 $, די קרוב למה שתמצאו לעשות את החישובים באמצעות דגם Black-Scholes (2.30 $).

בשורה התחתונה

למרות ששימוש בתוכנות מחשב יכול להקל על החישובים האינטנסיביים הללו, הניבוי למחירים עתידיים נותר מגבלה משמעותית של מודלים בינומיים לתמחור אופציות. ככל שמרווחי הזמן עדינים יותר, קשה יותר לחזות את התשלומים בסוף כל תקופה ברמת דיוק גבוהה.

עם זאת, הגמישות לשילוב השינויים הצפויים בתקופות שונות היא פלוס, מה שהופך אותו מתאים לתמחור של אופציות אמריקאיות, כולל הערכות שווי למימוש מוקדם.

הערכים המחושבים באמצעות מודל הבינומיום תואמים מקרוב את הערכים המחושבים מדגמים אחרים הנפוצים כמו Black-Scholes, מה שמצביע על התועלת והדיוק של דגמי הבינום לתמחור אופציות. ניתן לפתח דגמי תמחור של Binomial על פי העדפותיו של סוחר ויכולים לעבוד כחלופה לשחור-שולס.

תוכן עניינים: